Ngày đăng : 31/01/2021, 20 : 01
I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN a3 b3 c3 3abc a3 b3 c3 3abc 1) A B A2 AB B (a b c)(a b2 c2 ab ac bc) 2) A B C A2 B2 C AB AC 2BC Theo giả thiết, ta có: a b c nên A B 3) A B A B a2 b2 c2 ab ac bc a b c Vậy tam giác tam giác Bài tập vận dụng Bài Chứng minh rằng: 2 4) A12 A22 An2 A1 A2 A n a) Nếu ( x y)2 2( x2 y ) x = y a 5) A12 A22 An2 b) Nếu A1 Dấu “=” xảy A2 A n II.CÁC ỨNG DỤNG Chứng minh đẳng thức Phương pháp Để chứng minh A B, ta xét hiệu A – B chứng minh A B x, y A B C Thí dụ a) Cho a2 + b2 = 2ab Chứng minh rằng: a = b b) Chứng minh a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca a = b = c Lời giải a) Ta có: a2 + b2 2ab = (a – b)2 = a = b b) Ta có: a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2ca (a b)2 (b c) (c a)2 a b b c a b c c a Thí dụ Tam giác có ba cạnh a, b, c thỏa mãn: a3+ b3 + c3 = 3abc Hỏi tam giác tam giác gì? Lời giải Ta có: b2 x y (ax by)2 với a b ; x y c) Nếu a2 b2 c2 x2 y z (ax by cz )2 với x, y, z a b c ; x y z d) Nếu (a b)2 (b c)2 (c a)2 3(a b2 c2 ab bc ca) a = b = c; e) Nếu ( y z)2 ( z x)2 ( x y)2 ( y z x)2 ( z x y ) ( y x z ) x y z Bài a) Tam giác có ba cạnh a, b, c thỏa mãn (b c)2 2(b2 c2 ) tam giác tam giác cân b) Tam giác có ba cạnh a, b, c thỏa mãn (a b c)2 3(a2 b2 c2 ) (a b c)2 3(ab bc ca) tam giác tam giác Bài Cho x, y, z số dương thỏa mãn xy yz zx 2020 Tính giá trị biểu thức Px ( y 2020)( z 2020) ( z 2020)( x 2020) y x 2020 y 2020 ( x 2020)( y 2020) z z 2020 Số 514 (4-2020) Bài Chứng minh rằng: x4 y ( x y)4 x xy y Chứng minh bất đẳng thức Phương pháp Để chứng minh A B, ta xét hiệu A – B chứng minh A B A B C Thí dụ Chứng minh rằng: b) a b2 b) a b c ab bc ca; a b Dấu “=” xảy b c a b c c a Thí dụ Chứng minh rằng: a) a b ab, với a, b 0; a) a b2 2ab; a2 b2 c2 ab bc ca (a b)2 (b c)2 (c a)2 (luôn đúng) c) a3 b3 c3 3abc, với a + b + c > 0; d) (a b c)2 3(a b2 c2 ); e) (a b c)2 3(ab bc ca) Lời giải a) Ta có: a2 b2 2ab a2 b2 2ab (a b)2 ( đúng) x y ax by với xy 0; a b ab > 0; b a a b d) 2 ab < 0; b a e) (a b)(b c)(c a) 8abc, với a, b, c > Lời giải a) Ta có: c) a b ab a ab b Dấu “=” xảy a = b a b b) Ta có: a b c ab bc ca Dấu “=” xảy a = b a2 b2 c2 ab bc ca b) Ta có: a b2 2 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca (a b)2 (b c)2 (c a)2 (luôn đúng) 2 a b Dấu “=” xảy b c a b c c a c) Ta có: a b c 3abc a b c 3abc 3 3 (a b c)(a b2 c2 ab ac bc) a b2 x x (luôn đúng) y ax by y ax by ay bx (luôn đúng) Dấu “=” xảy ay bx c) Ta có: a b x y a b 2 b a a2 b2 c2 ab ac bc ( đúng) Dấu “=” xảy a = b = c a b2 2ab ( a b) 0 0 ab ab (ln ab > theo giả thiết) Dấu “=” xảy a = b d) Ta có: (a b c)2 3(a b2 c2 ) d) Ta có: Theo giả thiết, ta có: a b c nên a b a b 2ab 2 0 b a ab a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 3a2 3b2 3c2 ( a b) 2 2 (luôn ab < theo giả 2a 2b 2c 2ab 2ac 2bc ab (a b)2 (b c)2 (c a)2 (luôn đúng) thiết) Dấu “=” xảy a = - b Dấu “=” xảy a = b = c e) Ta có: a b ab (1); e) Ta có: (a b c)2 3(ab bc ca) (a b c)2 3(ab bc ca) Số 514 (4-2020) b c bc (2); c a ca (3) Nhân vế với vế (1), (2), (3), ta được: (a b)(b c)(c a) 8abc Dấu “=” xảy a b c Bài tập vận dụng Bài Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: 1 1 a) a b c 9; a b c a b c b) ; bc ca ab 1 c) ; a b ab 1 1 1 d) ; a b c b c a c a b a b c ab bc ca e) a b c c a b Bài Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: a3 b3 c3 2abc a2 (b c) b2 (c a) c2 (a b) Bài Chứng minh rằng: a b2 c x y z (ax by cz )2 với a, b, c, x, y, z Bài Cho a, b, c số khác Chứng x y z xy yz zx minh rằng: a b c ab bc ca Bài Cho a, b, c số không âm Chứng abc minh rằng: abc Bài Cho a, b số thực dương Chứng ab minh rằng: a b 2a b 2b a Bài Chứng minh rằng: a) a2 b2 c2 d e2 a(b c d e); b) a3 b3 ab(a b), với a > 0, b > 0; d) a b4 a3b ab3 ; e) a b ab A2 AB B2 ( A B)2 để biến đổi biểu thức dạng: P = a + [f(x)] ≥ a P = a f(x) = Q = b [f(x)] ≤ b max Q = b f(x) = Thí dụ Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A = x2 + 2x + 2020; b) B = x2 + 5y2 – 2xy + 4y + 2021; c) C c) a4 b4 c4 abc(a b c); HA HB HC HD HE HF HD HE HF c) AH BH CH HA HB HC d) BC CA AB e) cos A+cos B +cos C f) cos A.cos B.cos C g) cos2 A+cos2 B +cos2C ( AB BC CA) h) AD BE CF AB.BC BC.CA CA AB i) AH AD BH BE CH CF 2) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, M giao điểm AO BC Chứng minh: HB MB AB HC MC AC Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức Phương pháp Áp dụng đẳng thức: b) Bài Cho tam giác nhọn ABC, ba đường cao AD, BE, CF cắt H 1) Chứng minh rằng: AD BE CF a) HD HE HF x2 x x2 x Lời giải a) Ta có: A x2 x 2020 x2 x 2019 ( x 1)2 2019 2019 Dấu “=” xảy x x 1 Vậy A = 2019 x 1 b) Ta có: B x2 y xy y 2021 ( x2 xy y ) (4 y y 1) 2020 ( x y)2 (2 y 1)2 2020 2020 Số 514 (4-2020) x y Dấu “=” xảy x y 2 y Vậy B = 2020 x y 2 1 x x x2 x 4 c) Ta có: C x 2x ( x 1) 2 1 1 x x 3 2 2 4 x 1 ( x 1) 1 x 0 Dấu “=” xảy 2 x C x Thí dụ Tìm giá trị lớn biểu thức sau: a) D = 2020 4x – 4×2; b) E = 2018 – x2 + 2x – 4y2 – 4y; x2 x c) F (2 x 1)2 1 x 2 (2 x 1) x Dấu “=” xảy x 2 2 x Vậy max F = x Thí dụ Cho a, b, c số dương thỏa mãn a b c 2019 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) E = a3 + b3 +c3 – 3abc + 2020; ab bc ca b) F = ; 3c 3a 3b a b3 b3 c c a 2ab 2bc 2ca Lời giải a) Ta có: c) G = E a3 b3 c3 3abc 2020 (a b c)(a b2 c2 ab bc ca) 2020 Lời giải a) Ta có: 2019(a2 b2 c2 ab bc ca) 2020 D 2020 x x2 4 x2 x 2021 (4 x2 x 1) 2021 (2 x 1)2 2021 2021 2019 (a b)2 (b c)2 (c a)2 2020 2020 2019 Dấu ”=” xảy a b c 673 Dấu “=” xảy x x Vậy max D = 2021 x 2 b) Ta có: E 2018 x x y y ( x2 x 1) (4 y y 1) 2020 x 1 (2 y 1)2 2020 2020 x x 1 Dấu “=” xảy y 2 y x Vậy max E = 2020 y x2 x x2 x c) Ta có: F (2 x 1) (2 x 1) Số 514 (4-2020) Vậy E = 2020 a b c 673 ab bc ca ab bc ca b) Ta có: F 3c 3a 3b c a b Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: ab bc ab bc 2 2b (vì a, b, c > 0) c a c a bc ca Tương tự ta có: 2c, a b ca ab ab bc ca 2a Suy abc c a b b c 1 nên: F a b c 2019 673 3 2019 Dấu ”=” xảy a b c 673 Vậy F = 673 a b c 673 a b3 b3 c c a 2ab 2bc 2ca 2 2 a b b c c2 a2 2b 2a 2c 2b 2a 2c Áp dụng BĐT Cauchy, ta được: c) Ta có: G a2 c2 a 2c ac 2 ( a, b, c ) 2b 2b b 4b Tương tự: b c bc a b ab ; 2a 2a a 2c 2c c Suy ra: a3 b3 b3 c3 c3 a3 ac bc ab G 2ab 2bc 2ca b a c a b c 2019 2019 673 Vậy G = 2019 a b c 673 Bài tập vận dụng Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A = 5×2 + 10x + 1930; b) B = x2 + 5y2 – 2xy + 4y + 1945; c) C = x2 – 4xy + 5y2 +10x 22y + 1975; d) D = (x2 – 2x)(x2 – 2x + 2); 3x x x2 x e) E = ; F= ; x 2x x2 Dấu ”=” xảy a b c x x 2020 x2 x ; H = x2 x2 x Bài Tìm giá trị lớn biểu thức sau: a) A = 9×2 + 6x – 20; b) B = x2 + 2x – y2 – 4y – 4z2 + 4z + 11; c) C = x2 26y2 + 10xy – 14x + 76y + 1982; d) D = 2020 (x1)(x+2)(x+3)(x+6); 2x e) E = x 2 Bài Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức sau: f) G = 4x 3 4x 27 12 x ; b) B ; c) C ; x 1 x 1 x 9 8x 2x 1 3×2 x d) D ; e) E ; f)F ; 4x 1 x 2 x2 2010 x 2680 x2 x ; g) G h) H x2 x2 x Bài Tìm giá trị lớn biểu thức: H = a3 + b3 + c3 – 3abc + 1941, với a + b + c = 1911 Bài Cho a, b, c số dương thỏa mãn a) A a b c 6057 Tìm giá trị lớn biểu thức sau: 2020a 2020b 2020c a) P ; 2 a 2019 b 2019 c 2019 2bc 2ca 2ab b) Q a 2019 b2 2019 c 2019 Bài Cho a, b, c số dương thỏa mãn: a b c 1941 Tìm giá trị nhỏ biểu a b3 c bc ca ab Bài Cho a, b, c số âm thỏa mãn a b c 1941 Tìm giá trị lớn biểu thức K a b3 c bc ca ab Bài Cho a, b, c số dương thỏa mãn a b c 2022 Tìm giá trị nhỏ của thức L a2 b2 c2 bc ca ab Chứng minh biểu thức dương (âm) với biến biểu thức biểu thức: M Phương pháp Áp dụng đẳng thức: A2 AB B A B để biến đổi biểu thức dạng sau: P = a + [f(x)] > (a > 0) suy P > với x Q = b [f(x)] < (b < 0) suy Q < với x Thí dụ Chứng minh rằng: a) A = 2x2 4x + > với x; b) B = x2 xy + y2 + 1941 > với x, y; Số 514 (4-2020) c) C = x2 + 4y2 + z2 2x + 8y – 6z + 15,5 > với x, y, z Lời giải a) Ta có: A = 2×2 4x + = 2(x2 2x + 1) + = 2(x 1)2 + > Vậy A > với x b) Ta có: B = x2 xy + y2 + 1941 2 y y y x x y 1941 2 2 2 y x y 1941 2 Vậy B > với x, y c) Ta có: C = x2 + 4y2 + z2 2x + 8y – 6z + 15,5 = (x2 – 2x +1)2 + 4(y2 + 2y + 1) + (z2 6z + 9) + 1,5 = (x 1)2 + 4(y + 1)2 + (z – 3)2 + 1,5 > Vậy C > với x, y, z Thí dụ Chứng minh rằng: a) A = – x2 27 + 2x < với x; b) B = 4xy – 4x2 – y2 – 1947 < với x, y; c) C = xy + 3y + 2z – x2 y2 z2 < với x, y, z Lời giải a) Ta có: A = – x2 27 + 2x = (x2 – 2x + 1) – 26 = (x – 1)2 26 < Vậy A < với x b) Ta có: B = 4xy – 4x2 – 2020y2 – 1947 = (4x2 – 4xy + y2) – 2019y2 – 1947 = (2x – y)2 2019y2 1947 < Vậy B < với x, y c) Ta có: C = xy + 3y + 2z – x2 y2 z2 y2 x2 xy y y 3 z z 1 1 4 2 y 1 x y 1 z 1 2 2 Vậy C < với x, y, z Bài tập vận dụng Bài Chứng minh rằng: a) A = x2 – 6x + 2019 > với x; b) B = x2 + 5y2 + 2x – 4xy – 10y + 2020 > với x, y; Số 514 (4-2020) c) C = 5×2 + 10y2 6xy – 4x – 2y + 2021 > với x, y; d) D = x2 + 26y2 + 10xy + 14x – 76y + 2022 > với x, y; e) E = x2 + 4y2 + z2 2x 6z + 8y + > với x, y, z Bài Chứng minh rằng: a) A = 16×2 + 8x 2019 < với x; b) B = x2 + 2x – y2 + 8y + < với x, y; c) C = 5x2 26y2 + 10xy – 14x + 76y – 19 < với x, y; d) D y ( x y)( x y)( x y)( x y) z với x, y, z Giải phương trình Phương pháp Biến đổi đưa phương trình A1 A dạng: A12 A22 An2 An A B 2 A B A B Thí dụ Giải phương trình sau: a) x2 x 20 3x 10 (1); b) x x2 12 x (2); c) x2 x y y z z (3) Lời giải a) ĐK: x 10 Khi đó: (1) x2 x 3x 10 3x 10 ( x 3)2 3x 10 3x 10 x 3 x 3 x 3 x (thỏa mãn ĐK) Vậy S = 3 b) ĐK: x Khi đó: (2) 4(2 x 1) x x x 2 x (2 x 1) 2 x x (*) 2 x x (**) (**) vô nghiệm, giải (*) ta x (thỏa mãn ĐK) Vậy S = c) (3) ( x2 x 1) ( y2 y 4) (4 z2 z 1) ( x 1) ( y 2) (2 z 1) 2 x x y y 2 2 z z Vậy nghiệm a) x2 xy y yz 16 z 2019 (1); x y 3 z 5 x; y; z 3;4;6 Bài tập vận dụng Bài Giải phương trình sau: a) x y z 7 (2) x2 x 12 x 36; b) x2 x x 1; c) 1 phương trình x; y; z 1; 2; 2 Thí dụ Giải phương trình nghiệm ngun: b) x 1 x y y (thỏa mãn ĐK) z z Vậy nghiệm nguyên phương trình 3x 4 x2 21x 22; d) x x 0; e) x2 x x2 x ; f) x 3 (4 x)( x 12) 28 x ; g) ( x 3) x x 3x 1; h) ( x 1) x2 3x x x 3; i) x x 2 x x 3x 3; j) x2 x x x2 ; Bài Giải phương trình nghiệm nguyên sau: Lời giải a) (1) x y ( y z)2 2019 a) x2 xy y 10 yz 25z 2023; Ta có x y ( y z )2 số phương b) x2 y z x y z 0; nên x y ( y z )2 chia cho dư c) x2 y z xy y z 4; 2 Suy x y + ( y z ) chia cho dư 0, 2 Mà 2019 chia cho dư Do phương trình cho khơng có nghiệm ngun x b) ĐK: y Khi đó: z (2) x y z x y z z z 1 x 1 y 1 z 1 x x 1 y y 1 2 d) ( x y 1)2 3( x2 y 1); x y z ; Bài Nếu phương trình x2 + a1x + b1 = phương trình x2 + a2x + b2 = có nghiệm chung phương trình x2 + (a1+ a2)x + b1 + b2 = ln có nghiệm Bài Cho phương trình ax2 + 2bx + c = 0; bx2 + 2cx + a = 0; cx2 + 2ax + b= 0, a, b, c khác Chứng minh có phương trình có nghiệm Bài Cho phương trình x2 2mx + 2m – = (1) 1) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m 2) Với x1, x2 nghiệm phương trình (1) e) x y 1 z Số 514 (4-2020) a) Tìm giá trị nhỏ A x12 x22 b) Tìm giá trị lớn B 2020 x12 x22 x1 x2 Bài Cho phương trình: x2 (m 1) x 2m (2) Số 514 (4-2020) 1) Chứng minh phương trình (2) ln có nghiệm với m 2) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình (2) a) Tìm giá trị nhỏ của: C x12 x22 x1 x2 ; b) Tìm giá trị lớn của: D 2021 x12 x22 x1 x2 ... 1)2 2020 2020 x x 1 Dấu “=” xảy y 2 y x Vậy max E = 2020 y x2 x x2 x c) Ta có: F (2 x 1) (2 x 1) Số 514 (4 -2020) Vậy E = 2020. .. y ) (4 y y 1) 2020 ( x y)2 (2 y 1)2 2020 2020 Số 514 (4 -2020) x y Dấu “=” xảy x y 2 y Vậy B = 2020 x y 2 1 x x x2 x 4 c) Ta có: C... x y 1 z Số 514 (4 -2020) a) Tìm giá trị nhỏ A x12 x22 b) Tìm giá trị lớn B 2020 x12 x22 x1 x2 Bài Cho phương trình: x2 (m 1) x 2m (2) Số 514 (4 -2020) 1) Chứng minh
– Xem thêm –
Xem thêm: Báo toán học tuoi tre số 514THCS duy 2020,
