Các dạng bài tập Dao động điều hòa có lời giải
Bài giảng: Đại cương về dao động điều hòa (phần 1) – Thầy Lê Xuân Vượng (Giáo viên VietJack)
Phần Dao động điều hòa Vật Lí lớp 12 với 8 dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 300 bài tập trắc nghiệm có lời giải. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Dao động điều hòa hay nhất tương ứng.
Bài giảng: Đại cương về dao động điều hòa (phần 2) – Thầy Lê Xuân Vượng (Giáo viên VietJack)
Cách Viết phương trình dao động điều hòa
Phần 1: Viết phương trình dao động của vật khi VTCB nằm tại gốc tọa độ
A. Phương pháp & Ví dụ
1. Phương pháp
– Tìm A:
Trong đó :
– L là chiều dài quỹ đạo của xê dịch
– S là quãng đường vật đi được trong một chu kỳ luân hồi
– Tìm ω:
– Tìm φ
Cách 1 : Dựa vào t = 0 ta có hệ sau :
( Lưu ý : v. φ < 0 )
Cách 2 : Sử dụng vòng tròn lượng giác ( VLG )
Góc Φ là góc hợp bởi giữa trục Ox và OM tại thời gian khởi đầu .
Bước 3 : Thay hiệu quả vào phương trình : x = Acos ( ωt + Φ ) được phương trình xê dịch điều hòa của vật .
2. Ví dụ
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 5cm, Trong 10 giây vật thực hiện được 20 dao động. Xác định phương trình dao động của vật biết rằng tại thời điểm ban đầu vật tại ví trí cân bằng theo chiều dương.
Hướng dẫn:
Cách 1 : Ta có : Phương trình xê dịch của vật có dạng : x = A.cos ( ωt + φ ) cm
Trong đó :
– A = 5 cm
– f = N / t = 20/10 = 2 Hz → ω = 2 πf = 4 π ( rad / s ) .
– Tại t = 0 s vật đang ở vị trí cân đối theo chiều dương
→ Phương trình xê dịch của vật là : x = 5 cos ( 4 πt – π / 2 ) cm
Cách 2 : Tìm φ :
– Tại t = 0 s vật đang ở vị trí cân đối theo chiều dương ( v > 0 ) → Φ < 0 → Chọn B
Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 6cm, Biết cứ 2s vật thực hiện được một dao động, tại thời điểm ban đầu vật đang ở vị trí biên dương. Xác định phương trình dao động của vật.
Hướng dẫn:
Cách 1 : Phương trình giao động của vật có dạng : x = A cos ( ωt + φ ) cm
Trong đó :
– A = L / 2 = 3 cm .
– T = 2 s
– ω = 2 π / T = π ( rad / s ) .
Tại t = 0s vật đang ở vị trí biên dương
Vậy phương trình xê dịch của vật là : x = 3 cos ( πt ) cm
Cách 2 : Tìm Φ :
– Tại t = 0s vật đang ở vị trí biên dương
⇒ Loại A, C còn lại B, D khác nhau biên độ A
– Tìm A = L / 2 = 3 cm
Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa với vận tốc khi đi qua vị trí cân bằng là v = 20cm/s. Khi vật đến vị trí biên thì có giá trị của gia tốc là a = 200 cm/s2. Chọn gốc thời gian là lúc vận tốc của vật đạt giá trị cực đại theo chiều dương
Hướng dẫn:
Cách 1 : Phương trình giao động có dạng : x = A cos ( ωt + φ ) cm .
Trong đó :
– vmax = A. ω = 20 cm / s
– amax = A. ω2 = 200 cm / s2
– Tại t = 0 s vật có vận tốc cực đại theo chiều dương
Vậy phương trình giao động là : x = 2 cos ( 10 t – π / 2 ) cm .
Cách 2 : Tìm Φ
– Tại t = 0 s vật có tốc độ cực lớn theo chiều dương ( v > 0 ) ⇒ Φ < 0
⇒ Loại A, D còn lại B, C khác nhau ω
Ví dụ 4: Một vật dao động điều hòa với tần số góc 10π rad/s, tại thời điểm t = 0 vật đi qua vị trí có li độ x = 2√2π cm thì vận tốc của vật là 20√2 cm/s. Xác định phương trình dao động của vật?
Hướng dẫn:
– Tại t = 0 s vật có tốc độ v = 20 √ 2 π > 0 ⇒ Φ < 0
⇒ Loại B, C còn lại A, D khác nhau A
Phần 2: Viết phương trình dao động của vật có VTCB nằm ngoài gốc tọa độ
1. Phương pháp
Nếu di dời trục Ox sao cho vị trí cân đối có tọa độ xo, khi đó biên dương là A + x, biên âm là – A + xo. Áp dụng phép chuyển dời trục tọa độ ta có :Phương trình tọa độ của vật 😡 = Acos ( ωt + φ ) + xo+ x là tọa độ của vật+ Acos ( ωt + φ ) là li độ của vật
+ xo là tọa độ của VTCB
2. Ví dụ
Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox, quỹ đạo của chất điểm nằm trong khoảng từ tọa độ -1 cm đến + 7 cm. Thời gian chất điểm đi từ tọa độ + 3 cm đến + 5 cm bằng 1/6 s. Thời điểm ban đầu, t = 0 được chọn lúc chất điểm đi qua vị trí tọa độ + 1 cm theo chiều âm. Phương trình dao động của chất điểm là
Hướng dẫn:
Vẽ đường tròn diễn đạt giao động điều hòa từ – 1 cm đến 7 cm thì VTCB của vật có tọa độ xo = + 3 cm .
Chất điểm đi từ 3 cm ⇒ 5 cm : tương tự quay trên đường tròn góc
Vật đi từ – 1 cm ⇒ + 7 cm nên độ dài quĩ đạo L = 8 cm = 2A ⇒ A = 4 cm .
Lúc t = 0, x = 1 cm theo chiều âm : dựng đường vuông góc với trục Ox tại 1 cm và lấy điểm trên đường tròn. Suy ra, xác lập được góc φ = 2 π / 3 rad .
⇒ Phương trình : x = Acos ( ωt + φ ) + xo
x = 4 cos ( πt – 2 π / 3 ) + 3 cm .
Cách xác định các đại lượng đặc trưng trong dao động điều hòa
A. Phương pháp & Ví dụ
1. Phương pháp
Xác định các đại lượng như biên độ A, tốc độ góc ω, chu kỳ luân hồi, tần số, pha bắt đầu, … bằng cách giống hệt với phương trình chuẩn của xê dịch điều hòa .
– Dao động điều hòa là giao động mà li độ của vật được bộc lộ bằng hàm cosin hay sin theo thời hạn .
Hoặc là nghiệm của phương trình vi phân : x ’ ’ + ω2x = 0 có dạng như sau :
x = Acos ( ωt + φ )
Trong đó :
x : Li độ, li độ là khoảng cách từ vật đến vị trí cân đối ( Đơn vị độ dài )
A : Biên độ ( li độ cực lớn ) ( Đơn vị độ dài )
ω : Vận tốc góc ( rad / s )
ωt + φ : Pha xê dịch ( rad / s ) tại thời gian t, cho biết trạng thái xê dịch của vật ( gồm vị trí và chiều )
φ : Pha ban đầu ( rad ) tại thời gian t = 0 s, phụ thuộc vào vào cách chọn gốc thời hạn, gốc tọa độ .
φ, A là những hằng số dương ;
– Phương trình tốc độ v ( m / s )
v = x ’ = v = – Aωsin ( ωt + φ ) = ωAcos ( ωt + φ + π / 2 )
→ vmax = ωA Tại vị trí cân đối x = 0
vmin = 0 Tại 2 biên x = 2 hoặc x = -2.
Nhận xét : Trong giao động điều hòa tốc độ sớm pha hơn li độ góc π / 2 .
– Phương trình tần suất a ( m / s2 )
a = v ’ = x ’ ’ = a = – ω2Acos ( ωt + φ ) = – ω2x = ω2Acos ( ωt + φ + π / 2 )
→ amax = ω2A tại 2 biên
amin = 0 tại vtcb x = 0
Nhận xét : Trong giao động điều hòa gia tốc sớm pha hơn tốc độ góc π / 2 và ngược pha với li độ .
– Chu kỳ:
. Trong đó (t: thời gian; N là số dao động thực hiện trong khoảng thời gian t)
“ Thời gian để vật thực thi được một giao động hoặc thời hạn ngắn nhất để trạng thái giao động tái diễn như cũ. ”
– Tần số:
“ Tần số là số dao động vật thực thi được trong một giây ( số chu kỳ luân hồi vật triển khai trong một giây ). ”
2. Ví dụ
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(2πt + π/2) cm. Xác định biên độ, chu kỳ và vị trí ban đầu của vật?
Hướng dẫn:
Đồng nhất phương trình với phương trình chuẩn xê dịch điều hòa x = Acos ( ωt + φ ), ta được :
A = 4; ω = 2π →
Thời điểm khởi đầu là lúc t = 0, thay vào phương trình, được x = 4 cos ( π / 2 ) = 0, thời gian bắt đầu vật đang ở vị trí cân đối .
Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với biên độ 10 cm. Trong khoảng thời gian 90 giây, vật thực hiện được 180 dao động. Lấy π2 = 10.
a ) Tính chu kỳ luân hồi, tần số xê dịch của vật .
b ) Tính vận tốc cực lớn và tần suất cực lớn của vật .
Hướng dẫn:
a ) Ta có Δt = N.T → T = Δt / N = 90/180 = 0,5 s
Từ đó ta có tần số giao động là f = 1 / T = 2 ( Hz ) .
b) Tần số góc dao động của vật là
Tốc độ cực đại, gia tốc cực đại của vật được tính bởi công thức
Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa có vmax = 16π (cm/s); amax = 6,4 (m/s2 ). Lấy π2 = 10.
a ) Tính chu kỳ luân hồi, tần số giao động của vật .
b ) Tính độ dài quỹ đạo hoạt động của vật .
c) Tính tốc độ của vật khi vật qua các li độ
Hướng dẫn:
a) Ta có
Từ đó ta có chu kỳ và tần số dao động là:
b) Biên độ dao động A thỏa mãn
→ Độ dài quỹ đạo hoạt động là 2A = 8 ( cm ) .
c) Áp dụng công thức tính tốc độ của vật ta được:
Cách tìm thời điểm vật qua vị trí x lần thứ n
A. Phương pháp & Ví dụ
1. Phương pháp
– Phương trình giao động có dạng : x = Acos ( ωt + φ ) cm .
– Phương trình tốc độ có dạng : v = – ωAsin ( ωt + φ ) cm / s .
Phương pháp chung:
a ) Khi vật qua li độ x1 thì :
x1 = Acos(ωt + φ) ⇒ cos(ωt + φ) = 
= cosb ⇒ ωt + φ = ±b + k2π
+ 
với k ∈ N khi b – φ > 0 (v < 0) vật qua x0 theo chiều âm.
+ 
với k ∈ N* khi –b – φ < 0 (v > 0) vật qua x0 theo chiều dương.
Kết hợp với điều kiện kèm theo của bài toán ta loại bớt đi một nghiệm .
Lưu ý : Ta có thể dựa vào “ mối liên hệ giữa DĐĐH và CĐTĐ ”. Thông qua các bước sau:
• Bước 1 : Vẽ đường tròn có nửa đường kính R = A ( biên độ ) và trục Ox nằm ngang .
• Bước 2: – Xác định vị trí vật lúc t = 0 thì 
– Xác định vị trí vật lúc t ( x1 đã biết )
• Bước 3: Xác định góc quét Δφ = 
= ?
• Bước 4: 
b ) Khi vật đạt tốc độ v1 thì :
Lưu ý:
+ Đề ra thường cho giá trị n nhỏ, còn nếu n lớn thì tìm quy luật để suy ra nghiệm thứ n .
+ Có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa giao động điều hòa và hoạt động tròn đều .
+ Dùng sơ đồ này hoàn toàn có thể giải nhanh về thời hạn hoạt động, quãng đường đi được trong thời hạn Δt, quãng đường đi tối đa, tối thiểu … .
+ Có thể vận dụng được cho dao động điện, giao động điện từ .
+ Khi vận dụng cần có kiến thức và kỹ năng đổi khác thời hạn đề cho Δt liên hệ với chu kỳ luân hồi T. và quan tâm chúng đối xứng nhau qua gốc tọa độ .
2. Ví dụ :
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình 
cm. Xác định thời điểm đầu tiên vật đi qua vị trí có li độ x = 5 cm theo chiều ngược chiều với chiều dương kể từ thời điểm t = 0.
Hướng dẫn:
Vì v < 0 nên ta chọn nghiệm :
10 πt + π / 2 = 0,42 π + 2 kπ → t = - 0,008 + 0,2 k ; với k ∈ Z.
Nghiệm dương nhỏ nhất trong họ nghiệm này ( ứng với k = 1 ) là t = 0,192 s .
Chọn đáp án A
Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình 
cm. Xác định thời điểm gần nhất vận tốc của vật bằng 20π√3 cm/s và đang tăng kể từ lúc t = 0.
A. 1/6 s B. 1/7 s C. 1/8 s D. 1/9 s
Hướng dẫn:
Vì v đang tăng nên : 10 πt + π / 6 = – π / 6 + 2 kπ → t = – 1/30 + 0,2 k .
Với k ∈ Z. Nghiệm dương nhỏ nhất trong họ nghiệm này là t = 1/6 s, ứng với k = 1 .
Chọn đáp án A .
Ví dụ 3: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình 
(x tính bằng cm; t tính bằng s). Kể từ t = 0, chất điểm đi qua vị trí có li độ x = – 2 cm lần thứ 2011 tại thời điểm ?
A. 3015 s. B. 6030 s. C. 3016 s D. 6031 s .
Hướng dẫn:
Cách 1: Từ phương trình 
ta nhận thấy lúc t = 0, x0 = 4 cm, v0 = 0. Vật qua x = – 2 là qua M1 và M2. Vật quay 1 vòng qua x = – 2 là 2 lần, qua lần thứ 2011 thì phải quay 1005 vòng (ứng với 2010 lần) rồi đi từ M0 đến M1 để thêm 1 lần nữa là 2011 lần.
Khi đó, góc quét :
Vậy: 
Chọn đáp án C
Cách 2: Giải phương trình lượng giác
. Theo đề bài ta có:
Từ ( * ) ta nhận thấy :
+ Lần thứ 1 ứng với m = 0 .
+ Lần thứ 2 ứng với n = 1 .
+ Lần thứ 3 ứng với m = 1 .
… … … … … … … … … … …
+ Lần thứ 2011 ứng với m = 1005 .
Khi đó, ta có : t = 1 + 3 m = 1 + 3.1005 = 3016 s .
Chọn đáp án C
Cách giải 3 :
Ta nhận thấy vật đi qua vị trí có li độ x = – 2 cm lần thứ 2011 (n = 2011) nên n lẻ, khi đó ta có: 
Với 
là khoảng thời gian vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí x = – 2 lần thứ nhất.
Vậy: 
Chọn đáp án C
Chú ý: Dạng bài toán tính thời điểm vật đi qua vị trí đã biết x (hoặc v, a, Wt, Wđ, F) lần thứ n ta có thể tính theo các công thức sau:
+ 
nếu n là lẻ. Với t1 là khoảng thời gian vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí x lần thứ nhất.
+ 
nếu n là chẵn. Với t2 là khoảng thời gian vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí x lần thứ hai.
Xem thêm các dạng bài tập Vật Lí lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
